载舟求剑：比特币期权定价BS模型与量化分析

原创 | “峰度和比特币：定量分析”

编译 | 哈希派——艾德琳

金融世界动荡不安、混乱无序。 所以很多经济学家认为，市场变化是“随机游走”，价格是不可预测的，但这未必是坏事。

在这里，我们介绍了高斯随机游走的概念，这是 Black-Scholes 期权定价模型中使用的基本假设。 该期权定价模型将资产价格变化的时间间隔作为自变量，假设价格或资产收益随时间变化服从正态分布，即交易均匀分布在各个时间段，日、周或者 每月交易量巨大，所以根据中心极限定理（Central Limit Theorem），这些价格会服从正态或高斯分布。 当资产的收益分布为正态分布时，已知不同收益情况的概率。 了解这些概率可以为投资者提供一个想法，以更好地量化持有这些资产时可能出现的风险。

在此基础上，我们不禁会想，这个模型能否适用于比特币这种新型资产？ 比特币的暴涨暴跌是众所周知的事实货币比特币期权，这里不做争论。 本文旨在探讨如何构建风险框架，并检验传统金融衍生品定价中隐含的假设对比特币的应用。

本文将初步介绍衍生品市场，概述 Black-Scholes 模型，讨论该模型的重要性和适用范围，基于模型不切实际的假设分析其局限性，并讨论其在比特币市场中的可行性。 我们根据比特币从2016年1月到2019年8月的每日收益等历史数据，比较了应用于比特币和标准普尔500指数（S&P500）的Black-Scholes模型的结果。 最后得出“Black-Scholes 模型可能不适用于加密货币市场”的结论，并从该结论中得出对快速发展的代币衍生品市场的一些启示。

衍生品和对冲风险

假设您是一位种植玉米的农民，您想要收获 5,000 蒲式耳（约 127 吨）玉米并尽可能多地出售。 但价格受市场供需情况影响，玉米售价可能低于生产成本，金融衍生品的应用可以将这些情况造成的损失降到最低。

假设目前玉米的市场价格在每蒲式耳 3.50 美元左右，而您想“锁定”3 美元的价格下限，您可以在 3 美元的价格买入看跌期权，以避免价格跌破 3 美元的可能性。 由于看跌期权的价值随着标的价格的下跌而增加，因此期权的购买价格就是这种对冲的成本。 如果 3 美元看跌期权的成本是 10 美分（5000 蒲式耳 * 0.10 美元 = 500 美元），每蒲式耳生产玉米的成本是 1 美元，那么最低利润是 9500 美元 [$(3-2)* 5000 蒲式耳 - 500 美元 = 9500 美元)] .

以上例子说明了金融衍生品的作用。 当然，当考虑到各种期货、期权、掉期等时，这种衍生品组合可能会变得更加复杂。 所有这些投资组合的基础是市场和价格反映了风险和不确定性，而衍生品将最大限度地减少这种不确定性。

有了这个基本的了解，我们就会特别考虑任何衍生产品的价格。 衍生品发挥作用的前提是能够代表对标的物不确定性的实际对冲。 如何利用期权进行有效投资，是一个值得思考的问题。

期权的实际风险实际上反映在标的物的实际价格中。 在上面的例子中，如果看跌期权的价格为 2 美元而不是 10 美分，玉米价格仍为 3.50 美分。 然后通过Black-Scholes模型，可以计算出此时玉米价格的波动幅度高于200%（见注），这个数字对于农产品市场来说是不寻常的，基于此，你对未来价格的预期玉米也变了。 其次，即使你的预期保持不变货币比特币期权，以 2 美元的价格买入看跌期权也会大大降低你的利润率，如果玉米价格跌破 3 美元，那么你将因为期权费而亏损。 第三，如果你的预期发生变化并且玉米价格的隐含波动性是可信的，那么以每蒲式耳 1 美元的价格生产玉米的亏损风险就会变得很大。 因此，期权定价的有效性至关重要，它反映了市场对未来的预期。

布莱克-斯科尔斯模型

期权合约的定价过程实际上是相当机械的。 众所周知，Black-Scholes 模型在期权定价和套期保值中起着非常重要的作用。 同时，投资者和交易所也利用这个模型来确定Greeks或计算期权等投资组合中的δ、Vega、θ、γ的等偏导数。 这些偏导数对交易所/券商的风险管理有很大帮助，是衡量衍生品价格敏感度的系数。 例如，当大型加密衍生品交易所 Deribit 在清算高风险头寸时，他们的风险引擎实际上是在创建一个“（delta 中性）”的对冲头寸，让正负 delta 相互抵消，从而使投资组合价值不变。 受标的资产价格变动的影响。

自从 Black-Scholes 模型于 1973 年首次发表在政治经济学杂志 (Journalofpo Litical Economy) 之后，芝加哥期权交易所 (CBOE) 的交易员们立即意识到了它的重要性，并很快将模型程序进行了改造并应用到刚刚开业的芝加哥期权交易所于1986年推出了第一个应用Black-Scholes模型的“自动报价”系统（该系统可以为交易者即时更新正在交易的期权的价格）。 可以说，这种模式对现代金融的发展和金融衍生品对市场影响力的提升做出了里程碑式的贡献。

Black-Scholes 模型也对加密市场造成了影响。 近日，比特币衍生品交易所LedgerX和Seed CX宣布推出比特币衍生品实物结算，任何美国居民都可以参与真实的比特币衍生品交易，引起了很多人的浓厚兴趣。

这些新的衍生品交易所上市的消息不禁引发我们的思考：Black-Scholes模型能否在比特币的风险管理中发挥作用？ 如果是这样，这有多大用处？

Black-Scholes 模型隐含了资产回报的假设，即回报率服从正态分布，它提供了一个框架来预测不同回报的概率。 投资者可以将此作为对冲策略概率的参考。 布莱克和斯科尔斯在他们的原始论文“定价选项和公司负债”中指出，假设是“股票的价格在连续时间内遵循随机游走，其方差与股票价格的平方成正比。因此，在任何情况下有限区间股票价格服从对数分布，股票收益的变化率是常数”。 这个假设可以用 Black-Scholes 公式来说明：

在：

图 1：对数正态分布（左）与正态分布（右）

图 2：期权执行价格的概率分布

波动率越高，正态分布曲线的面积越大，期权价格就越高。 因此，期权价格可以被认为是一个概率分布。

如果波动率非常稳定，并且股票在期权到期时高于看涨期权的行使价 100% 或低于看跌期权的行使价 100%，则该期权没有价值。 其实从对冲的角度来说，这个时候选择期权是没有意义的，因为对冲没有风险。 或者假设在期权到期时，股票有 50% 的机会高于看涨期权的执行价格，或者有 50% 的可能低于看跌期权的执行价格，那么这个期权是有价值的，因为它可以吸引投资者购买期权来对冲持有标的股票的风险。

Black-Scholes 模型的缺陷

Black-Scholes 模型绝不是完美的。 在某种程度上，Black-Scholes 模型对市场的假设与实际情况不符。 通过该模型，交易者只需输入行使价、剩余到期时间、标的资产价格、标的资产波动率、无风险利率等参数，即可获得相应的期权价格。

上述参数中，有四个参数的值可以从市场上准确获取，只需要估计标的资产价格波动率即可。 相反，该模型假设波动率不仅是恒定的，而且是事先已知的。 这个假设是有问题的，因为波动本身可能是不稳定的。 CBOE 创建了受害者指数 (VIX)，它指的是未来 30 天标准普尔 500 指数的隐含波动率。 2018年，恐慌指数（VIX）低至8.5%，高至46%。 因此，全年的波动性并不总是一致的。

Black-Scholes 模型的准确性也会受到市场变化的影响。 1987 年金融市场崩溃时，衍生品市场也受到影响。 在 1987 年之前，隐含波动率与行使价之间没有太大关系，价外看跌期权和价内看涨期权的波动率大致相同。 然而，1987 年出现了令人毛骨悚然的“波动微笑”。 如图3所示，当期权现价背离行权价时，期权的隐含波动率上升，呈现中间低边偏高的笑嘴。 对于不同的金融期权，隐含波动率的形状也不同。 一般来说，股票期权的波动率曲线可能出现偏斜，称为波动率偏斜。

图 3：CBOE 偏斜指数

这种偏差可能预示着市场恐慌。 如果看跌期权的隐含波动率远高于看涨期权，这可以用不成比例的投资者对冲下行风险来解释。

在图 3 的示例中，图表显示标准普尔 500 指数呈现负波动率偏斜。 一个原因是越来越多的投资者更愿意购买价内看涨期权而不是直接购买股票，因为购买期权可以带来杠杆效应，即支付相当于股票价格一部分的期权费可以享受相同的股价。 涨幅收益，买入股票需要占用相当于股价100%的资金。 其结果是投资者的回报率将提高，因此市场对股票价格看涨期权的需求将增加，执行价格较低的看涨期权的隐含波动率水平将上升。

因此，尽管 Black-Scholes 模型的正态分布曲线在两端给出了相等的概率，但实际上股票期权市场往往表现得更加悲观。 有趣的是，相比之下，比特币市场要乐观得多。

图 4：到期日为 2019 年 12 月 27 日的比特币期权表

图 4 显示了 2019 年 12 月 27 日在比特币期权平台 Deribit 上到期的比特币衍生品。 可以看出，与比特币现价（10000+）偏离相同程度的两个价格（7000和13000）表现出不同的隐含波动率：在7000（右侧）买入的看跌期权的隐含波动率（ IV) 为 86.6%，而 13,000 看涨期权（左侧）的 IV 略高，为 90.2%。 这表明价外看跌期权的价值远低于价外看涨期权，虽然这张期权表不能代表整个比特币期权市场，但它也表明相当数量的投机者/投资者低估了下行风险。

因此，Black-Scholes 模型不能被神化。 相反，在使用该模型为期权定价时，应该保持怀疑的态度。 如上所述，Black-Scholes 模型仍在广泛使用。 它提供了更多的基准，交易者可以快速发现期权价格的相对价值。 依靠。

峰态的不可预测性

峰态是数据分布的平坦度。 尾部较大的数据分布峰度值较大，反映了未来尾部的风险特征。 样本超峰度公式为：

在：

峰度是：

在计算资产收益分布的峰态时，日收益偏离均值（每个随机变量 X 与所有值的均值之间的差值）是必要的。 这种偏差可以表示为：

在统计学中，矩描述了概率分布的形状。 一般来说，一阶距离和二阶矩分别代表分布的均值和方差，三阶矩代表偏度（Skewness）。 如前所述，偏度衡量分布的不对称或偏斜程度。 第四个距离反映了分布的锐度，并以不同的方式改变了正态分布的曲线。 可以表示为：

图 5：具有相同方差和正峰度的正态分布形状

峰度可以用来衡量风险，这里我们暂时忽略“随机游走”等基本假设。 找到任何给定时间范围内回报的峰度可以让投资者了解波动性是如何分布的。 不同的风险状况可以通过资产收益是否服从正态分布来描述。 投资界的大多数人选择将波动性和风险视为一回事，认为资产波动性越大，风险就越大。 相反，资产的波动性越小，它就越安全。 然而，这种波动率/风险二元论忽略了波动率的本质，甚至将正态分布的回报归为“风险”类别。

当我们限制回报服从正态分布时，那么不同回报情况的概率是已知的。 例如，假设一个资产收益正态分布的边缘达到-50%和50%，这个资产会被认为极不稳定，但是如果收益服从正态分布，那么曲线就可以画出尾部和 margins 分别是平均值的 2 和 3 个标准差。 一旦知道了这些信息，就可以围绕这种可能性调整投资策略，甚至可以像波动较小的资产一样交易波动很大的资产。 因此，与其混淆风险和波动率，不如让它们建立一种可以作为波动率风险指南针的正交关系。

图 6：波动性和风险之间的正交关系

在图6中，假设纵轴是价格的可预测性，横轴是收益概率分布的可知性。 在这个图中，上象限是不可预测的价格，代表“随机游走”； 左象限是收益率的已知概率分布，即收益率服从正态分布。

在图 7 中，左上角表示基于“理想”假设的 Black-Scholes 模型中的资产。 此类资产经过“随机游走”，价格不可预测，收益率呈正态分布，故概率分布可知。 右下角代表 Black-Scholes 模型的对立面。 资产的价格是可预测的，但概率分布是不可知的。 可预测，但发生概率不确定。 该资产的价格可以随着时间的推移完全被操纵，无需预测回报的概率分布。 左下角的价格是可以预测的，它的概率也是可以知道的。 这样的资产才算“稳定”，应该不会出现价格偏差，未来的收益率也是可知的。 最后，右上角代表遵循“随机游走”但回报概率分布异常的资产。

图 7：波动率风险指南针

使用 Volatility-Risk Compass，可以更清楚地描绘资产的风险状况。 在此基础上，峰度可以用来判断资产属于哪个象限。 资产的峰度量化了期权的风险，因为峰度过大意味着 Black-Scholes 模型的定价不一定可靠。

此外，在查看“风险调整后的回报概况”时，发现投资组合中资产的峰度可以更准确地衡量投资组合的价值。 这是因为峰态衡量的是投资组合的“尾部风险”。 通过识别“尾部风险”而不是仅仅考虑波动性，投资者可以更好地定义其投资组合中的风险。 因此，在试图解释比特币存在的风险时，仅仅关注比特币的波动性是不够的。 假设其收益率服从正态分布，则可以给出比特币期权的确切价格来量化风险。 而如果收益率不服从正态分布，那么期权价格的收益率分布概率就变得没有意义了。

比特币峰态

通过观察比特币从2016年到2019年8月的日收益率（数据来源：coinmarketcap），可以得到比特币的超峰度。 自 2016 年 1 月以来，比特币出现了超峰态。

图 8：2016 年（左）、2017 年（中）、2018 年（右）比特币日回报率

图8展示了比特币在2016年、2017年和2018年的日收益分布，并从数据中绘制了一条正态分布曲线。 从图表中可以清楚地看出，比特币不遵循正态分布。 并将图 8 与图 5 进行比较，我们可以发现比特币更像是一个正峰态。 在计算了 2016 年、2017 年和 2018 年的超峰度（分别为 10.03、3.29 和 2.05）后，每个图表的日回报率范围为 -20.00% 至 20.00%。 但在 2017 年，有两个观测值 (22%) 超出了这个范围。 2017 年对比特币来说是特别动荡的一年。 到 2018 年，比特币波动率略有下降，但仍存在明显的“尾部风险”。 值得注意的是，2018 年比特币价格的跌幅更为剧烈。

图 9：2019 年比特币日回报率

到目前为止（2019 年 9 月），比特币的峰度没有下降。 相反，与2018年相比，略有上升，超峰度为3.92。 虽然年内日收益的概率分布在均值附近较大，但尾部的概率分布相对均匀。 这表现出经典的正峰度，与正态分布相比，尾部更厚，均值两侧的值范围更广。

图 10：2016-2019 比特币超峰态

总体而言，超峰度表明使用 Black-Scholes 模型的比特币每日收益的概率偏差将大于均值和尾部的预期。 随着隐含波动率变得不那么可靠，定价选项可能变得非常困难。 过度峰度意味着大多数价格变化变得不可预测，并且波动不遵循正态分布。

因此，资产可能表现出相对较低的波动性，因此价格发生大幅变化的可能性较低，但这种波动性并不是资产波动性的真实表现。 回顾图 7 中的波动率风险指南针，比特币很可能就是右上角代表的资产类型。 据推测，比特币价格不可预测且随机游走，其回归概率不服从正态分布。

比较与结论

到目前为止，我们已经证明比特币表现出超峰度。 那么与更广泛讨论的股票市场相比，比特币是一个异常值吗？ 是和不是。 在比特币之外，还有许多资产也表现出超峰态，甚至包括标准普尔 500 指数（S&P500 指数）。 2018 年，标普 500 指数的超峰度为 3.09。 低于比特币在 2016 年、2017 年和 2019 年的超峰度，但高于 2018 年。对于标准普尔 500 指数而言，2018 年是非常动荡的一年，股市经历了大起大落。 如图11所示，2018年初，该指数突然下跌超过10%，对应的是相对极端的峰态。

图 11：标普 500 峰度变化（来源：金融时报）

图 12 中的直方图显示，标准普尔 500 指数的每日收益分布比比特币更接近正态分布。 虽然有些日收益远超正态分布曲线，但存在明显的超峰态。 但总体而言，标准普尔 500 指数的这 250 个观测值中只有 6 个落在正态分布曲线之外。 在 2017 年比特币每日收益的 364 次观察中，有 28 次落在正态分布曲线之外。 根据数据对比，我们发现标普500日收益率曲线下降速度非常快，价格出现极端波动的可能性较低，这使得人们很难预测事件的极端变化，波动不可预测。

图 12：标普 500 指数 2018 年每日回报率

那么我们能从中得到什么启示呢？ 虽然标准普尔 500 确实没有落入正态分布曲线，但它确实比比特币更符合正态分布曲线。 造成这种结果的具体原因还有待确定，但我认为至少有三种可能。 首先，比特币代表了与广泛股票市场不同的资产类别，并遵循不同的基本假设。 其次，目前的比特币市场还不成熟，缺乏专业投资机构的管控。 第三，总体而言，Black-Scholes模型的可靠性存疑，波动的不可预测性成为“新常态”。

不管是哪一种原因，我们都可以得出结论，在这种情况下，比特币期权定价模型很可能是错误的，比特币投资组合的“三角套利”估值也不准确。 尤其是在众多新的加密货币衍生品交易所抢先上市的情况下，由于比特币隐含波动率相对较高，而这种波动背后隐藏着超额峰值，后期可能会引发更多问题。 度会大大降低投资者规避风险的能力，无法量化风险。

笔记

从 Brenner 和 Subrahmanyan 的“A Simple Formula for Computing Implied Standard Deviation”和 Black-Scholes 模型我们得到：

在：

在我们一开始的玉米示例中，期权价格为 2 美元，玉米当前价格为 3.50 美元，期权合约假设为 6 个月。 这里值得注意的是，上面的公式是计算看涨期权价格的波动率。 这个玉米例子是看跌期权。 因此，按照这个公式计算的波动率会略微不准确。 然而，为简单起见，我们将此期权视为看涨期权。

使用上面的公式我们得到：

σ=√(2π/5)*(2/3.5)

σ=202.73%

资料来源：Brenner、Menachem 和 Marti Subrahmanyan，“计算隐含标准差的简单公式”。 金融分析师杂志 44(5) (1988)。 81

参考文献 [1] Black, Fischer & Myron Scholes。 “期权和公司负债的定价。” 政治经济学杂志 81(3) (1973).[2] Fama, Eugene F.“有效的资本市场：理论和实证工作回顾”。 金融杂志 25(2) (1970).[3] Hull, John C. 期权、期货和其他衍生品。 第十版。 纽约：培生教育，（2018）[4] 麦肯齐，唐纳德。 引擎，而不是相机。 马萨诸塞州剑桥市：麻省理工学院出版社，2006 年。McAlevey、Lynn G. 和 Alan F. Stent。 “峰态：一个被遗忘的时刻。” 国际科学技术数学教育杂志 49( 1) (2017).[5] Malkiel, Burton G. “有效市场假说及其批评者”。 经济展望杂志 17(1) (2003).[6] Westfall, Peter H. “作为峰度的峰度，1905 - 2014。 RIP” Am Stat 68(3) (2014)。